十倍的概念

科學上說「一個數量級」(an order of magnitude),通常代表十倍的意思,所以一個數量級的差距就是十倍的差距。十倍很大?還是很小?在科學上,有些應用我們只想知道大概的數值,或者觀測的數值有誤差,我們無法知道它真正的數值,只想知道它大概的範圍,這時候數量級就是一個常用的概念。在生活上,十倍的概念是什麼?

相較於科學上的數據,在生活上,或說物質世界裡,十倍往往反應的是很大的差距。舉例來說,蓋 10 樓的房子是一般的大樓,蓋 100 樓的房子就是國家級甚至世界級的觀光景點了。500 萬的房子一般人還買得起,5000 萬的房子只有少數人才買得起了。50 萬的車子很稀鬆平常,500 萬的車子就是奢侈品了。月薪 5 萬接近台灣人的平均收入,月薪 50 萬就是非常高薪了,更不用說如果一千倍,月薪 5000 萬呢?那簡直是天價(美國職棒 MLB 或職籃 NBA 的頂尖球員年薪 2000 萬美金,換算成台幣約月薪 5000 萬台幣)。貨幣的匯率長期以來平均是 1:30,有一天變成 1:3 或 1:300 那市場一定大亂。一個電腦程式需 8 小時跑完,睡個覺起來就看得到結果,如果需要 80 小時才跑得完,那可能畢業趕工就來不及了。一台吹風機功率 800 瓦,如果變成 8000 瓦,那可能一打開家裡或宿舍就馬上跳電了。飛機的飛行速度每小時 700 公里,如果有一天變成每小時 7000 公里,台北洛杉磯一個多小時就可到,那一定是不得了的進步。現在家庭生養 1 個孩子很普遍,如果生養 10 個孩子走在路上一定相當引人側目。兄弟姐妹差 3 歲很正常,差 30 歲會嚇死人,況且除非是同父異母,或是人工受孕等方式,否則幾乎是不可能的事。

但在有些情況,差十倍好像差異不大,通常是數目的差距本身相對而言還算小的情況。舉例來說,小巨蛋開演唱會,來了 5 個觀眾和來了 50 個觀眾,對主辦單位和歌手來說,都同樣是一場令人失望的演唱會。寫一本書,給你 1 天或 10 天的時間,都是寫不完的,搞不好都一樣還停留在打草稿、構思的階段。一艘小船和一艘大船重量差了十倍,大海同樣都能承載。一個星球距離地球 10 光年和 100 光年都同樣是一輩子也到不了的距離,它們的差距已經不重要了。

在物質世界裡,許多東西要差距十倍也是不可能的事。身高 160 公分的人滿街都是,但是我們看不到身高 16 公分或 1600 公分的人(格列佛到小人國畢竟是小說)。百米賽跑可以跑 10 秒,但是不可能跑 1 秒。跳高可以跳 2 公尺,但是不可能跳 20 公尺(韋一笑畢竟是小說裡的人物)。這都是受制於人類身體強度、力量和發展的局限,而難以有十倍的差距的例子。

十倍的放大或縮小,其實就是以 10 為底的指數 (exponential) 的倍數放大或縮小,而指數通常意味驚人的成長,即使是以較小的數字(例如 2)為底,也是一樣。小時候,如果父母要給零用錢,給你二個選擇,第一是每個月給你 1000 塊(姑且假設有如此「慷慨」的父母),第二是第一個月給你 1 塊,第二個月給你 2 塊,第三個月給你 4 塊,如此二倍增加下去,你要選那一個呢?事實上,後者在第 11 個月拿到的零用錢就超越了前者,而之後每個月也都超越前者,差距也愈來愈大,而且不久父母就要反悔了,因為實在拿不出那麼多錢了。

有一天,和老婆去接小孩前,先在保母家樓下走走,看到樓下有家新開的店就進去買個東西,店員說,買二個有折扣,五分鐘後,我們若無其事地出來,已經買了二個東西。這「東西」是什麼呢?原來這家新開的店是房屋公司,我們買的「東西」是房子!路過、進去、五分鐘之內就買了二間房子?你一定覺得不可思議。如果說這家店是便利商店,買的東西是二罐飲料,你還會覺得奇怪嗎?差別在哪裡?就是 50 塊的飲料和 5000 萬的房子之間的一百萬倍、也就是十的六次方的差距。一個是掏口袋就有,一個是傾家蕩產也沒有。不過就是幾個指數次方,差距就如此驚人。

當然,我是開玩笑的,我們並沒有買了二間房子,那太瘋狂了。

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