研究系列9: 選擇研究題目

求學的時候,不論作業或考試的題目,基本上都是明確、已知有解的題目,拿到題目反正做下去就對了,如果解不出來一定是自己的問題。研究比較不一樣,研究的題目是未知的,是開放的,是自己定的。自己定題目自己找答案,如果解不出來,也許是題目定得太難了,把題目修改一下,或許就得到了解答。

說起來,研究解不出來的時候還可以自己改題目,而考試的題目是死的,做不出來就是做不出來,那似乎研究還比考試容易一些?

這牽涉到一個問題,就是一個研究是否有貢獻。簡單說,就是研究的題目要怎麼定?題目定得太簡單、太瑣細 (trivial),雖然做得出來,但也沒有貢獻。題目定得太大,或是超出自己能力範圍之外,投入五六年仍毫無進展,這樣的研究也沒有意義。

以工程領域來說,許多基本的理論工具,已在純理科的領域內(例如數學)被探討了數十年、甚至上百年了。因此,在工程領域做研究,如果要有一些貢獻,通常是面對新的工程問題,發現可以拿一些現有的工具來解決,再加上現在工程問題的獨特性加以深入探討。換句話說,問題本身必須要有意義,解決有意義的問題才有貢獻。問題本身也要有趣,否則僅玩弄一些已被探討數十年的數學工具,又沒有在純理科的領域有突破,有何貢獻可言?

可見定一個研究題目的重要性。台灣大學陳光禎教授在演講時提到,「一個題目的格局,直接決定後面做下去的成就」,同樣的看法,美國南加州大學 Jay Kuo 教授也不只一次提到。定一個不好的題目,即使後面做了很多的分析,洋洋灑灑,也被不錯的期刊接受了,但大家也不感興趣。所有的數學分析和技巧是因為一個有意義的題目才有意義,一個不吸引人的題目,即使用了很多的技巧,玩了很多的花樣,讀起來也是索然無味。

但是話說回來,要找一個好題目容易嗎?很難。舉個例子,直角三角形的畢氏定理我們在中(小)學就學過了,也學過它的證明(它的證明有幾十種)。當初發現(或說猜測)存在這樣關係的人,他也許並非立刻有證明,所以也不確定是不是對所有情況都成立,後來找到證明了,才驗證這樣的關係對所有直角三角形都成立。觀察到並猜測這關係成立的人,就是「定題目」的人,找到它的證明的人,就是「解題目」的人。解題目不容易,但是定題目(尤其定一個好題目)更難。你可能會問,他怎麼會「看」到這樣美妙的關係?

許多數學家一生都在找美妙的猜想 (conjecture),再加以證明變成定理 (theorem)。如果自己證不出來,就丟給其他數學家去證,如果證出來了,就驗證了當初的猜想是對的,如果找到反例,就說明了當初的猜想是錯的。「猜想」,似乎只是尚未驗證的「胡思亂想」而已,但是提出猜想的人,其實就是「定題目」的人,他需要有極佳的洞察力 (insight) 和直覺 (intuition),彷彿有一種感覺它應該是對的(當然,再好的數學家,直覺也有出錯的時候)。而把猜想變成定理的人,就是「解題目」的人,他需要一個非常邏輯 (logic) 的頭腦,經過嚴密的推敲,一步一步找到答案。一言以蔽之,就是法國數學家的名言:

It is by logic that we prove, but by intuition that we invent.
– H. Poincare

回到工程領域來講,定一個乏味的題目然後把它做得很好,就像在一個荒島蓋一座城堡,依然乏人問津。定一個有趣的題目,即使只得到部分進展,寫起來也只有二三頁(知名的 Science 就有許多只有二三頁的精闢文章),但就像一個大城市裡的一間小公寓,依然炙手可熱。

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